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第404章 最贪的选择

第404章 最贪的选择 (第1/2页)

陈舟明显愣了一下。
  
  这是一上来,就考自己吗?
  
  从几何角度研究非交换环?
  
  真要说起来,对于非交换环,陈舟还是有些看法的。
  
  非交换环的一个最常见的例子,或许就是矩阵了。
  
  利用矩阵可以得到一批非交换环的反例。
  
  就好像,若S是包含在环R内的相应维数为无穷的域。
  
  那么A=Re_11+Re_12+Se_22,是左Noether与左Artin的。
  
  但不是右Noerther与右Artin,这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。
  
  在除环上的所有矩阵的有限直积,构成了所谓的半单环类。
  
  这就是通常所说的Wedderburn-Artin定理。
  
  这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。
  
  更加有趣的是,它通过矩阵的对称结构,自然说明了左半单环等价于右半单环。
  
  在交换环中,最常见的两个根分别是Jacobson根与幂零根。
  
  前者简称为大根,它是所有极大理想的交。
  
  后者简称为素根或小根,它是所有素理想的交。
  
  而在非交换的情形中,一个根就可能分化为三个根,满足某类条件左、右理想以及理想的交。
  
  事实上,非交换环R,所有极大左理想的交,恰恰就是所有极大右理想的交。
  
  并且它们良好的继承了相应的可逆性质。
  
  因此就称其为非交换环的Jacobson根,也记作rad(R)。
  
  尽管非交换环中有左与右的区别,但也不乏此类殊途同归的有趣现象。
  
  而在交换代数中,由于局部化技术的广泛使用,局部环成为了一个研究的焦点。
  
  但非交换环的局部环技术,似乎受到了限制。
  
  反倒是特别在乎半局部环。
  
  值得注意的是,非交换环中对半局部环的定义,并非是指它只有有限个极大左理想。
  
  而是定义为R/rad(R)是半单环或者是Artin环。
  
  事实上,半局部环R的各(双边)理想均包含rad(R),可以化归为Artin环R/rad(R)中的极大理想,因此至多只有有限多个。
  
  但对于左理想的情形,就必须补充条件“R/rad(R)可交换”。
  
  否则可以考虑域上的矩阵代数,它是半局部的,却可能有无穷多个极大左理想。
  
  至于从几何角度研究非交换环,也就是所谓的从局部方面,研究交换代数的方法。
  
  主要讨论代数簇中的奇异点,以及代数簇在奇异点周围的性质。
  
  但这主要针对的是交换环,而不是非交换环……
  
  陈舟的脑海里飞速的闪过关于非交换环的内容。
  
  可是,自己这只是半吊子的理解,并没有深入研究过。
  
  面对第一次见面的导师,还是这样的一位大佬。
  
  自己还能怎么看?
  
  与其班门弄斧,说着一些浅显的理解。
  
  还不如老老实实的说,自己没啥看法。
  
  在这样的数学大佬面前,不懂装懂,或者故意卖弄。
  
  才是真正愚蠢的事情。
  
  阿廷教授见陈舟一直沉默着,没有说话。
  
  便又笑着问了一句:“怎么了?有什么想法,可以尽管说出来。”
  
  陈舟看了阿廷教授一眼,最终老实说道:“教授,对于从几何角度研究非交换环,我没有什么看法。”
  
  

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